Как это сделать?

Воспользуйся: bool QDir::rename ( const QString & oldName, const QString & newName ).

А как переместить с одного диска на другой или с одного компа на другой?

Думаю это можно сделать только путем создания новых папок - файлов и удаления старых, разумеется в случае успешного создания.

Или воспользоваться классом QtFileCopier, но он вроде относится к комерческой версии Qt.