Можно как-то чем-то обернуть (убрать все ' и ") строку перед вставкой в SQL? В библиотеках mysql есть функция mysql_escape_string которая это все делает, но что-то не смог найти аналога среди методов классов QSql*.

если тебе надо обработать строку (QString), то и методы обработки строки нужно искать в QString.