Добрый день.

Подскажите в каком направлении мне двигаться, чтобы с помощью Qt можно было реализовать визуально кнопки, как на скриншоте (пример из outpost - кнопка "Быстрая проверка системы").

Как получить такую кнопку, чтобы она содержала какой-нибудь графический элемент + текст разного вида форматирования ?

можно двумя способами (и их комбинацией):
1) полностью вручную сделать свой виджет
2) стилизация - в редакторе задать таблицу стилей (или программно через QStyle + setStyle)

тебе, думаю, больше 2-й способ сейчас подойдёт

используй готовую командную кнопку

Если в приложении необходимо использовать такой вид элементов, то надо просто переходить на QML. Там такие кнопки очень легко делаются.